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数学(理)复习要点

 

指数函数、对数函数问题

 

指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一,本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题.

 

●难点

 

f(x)=log2 ,F(x)= +f(x).

 

(1)试判断函数f(x)的单调性,并用函数单调性定义,给出证明;

 

(2)若f(x)的反函数为f-1(x),证明:对任意的自然数n(n≥3),都有f-1(n)> ;

 

(3)若F(x)的反函数F-1(x),证明:方程F-1(x)=0有惟一解.

 

●案例

 

[例1]已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点,分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.

 

(1)证明:点C、D和原点O在同一条直线上;

 

(2)当BC平行于x轴时,求点A的坐标.

 

命题意图:本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识,考查学生的分析能力和运算能力.属★★★★级题目.

 

知识依托:(1)证明三点共线的方法:kOC=kOD.

 

(2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想,只要得到方程(1),即可求得A点坐标.

 

错解分析:不易考虑运用方程思想去解决实际问题.

 

技巧与方法:本题问运用斜率相等去证明三点共线;第二问运用方程思想去求得点A的坐标.

 

(1)证明:设点A、B的横坐标分别为x1、x2,由题意知:x1>1,x2>1,则A、B纵坐标分别为log8x1,log8x2.因为A、B在过点O的直线上,所以 ,点C、D坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于log2x1=3log8x2,所以OC的斜率:k1=1 ,

 

OD的斜率:k2= 1,由此可知:k1=k2,即O、C、D在同一条直线上.

 

(2)解:由BC平行于x轴知:log2x1=log8x2 即:log2x1= log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得:x13log8x1=3x1log8x1,由于x1>1知log8x1≠0,∴x13=3x1.又x1>1,∴x1=1 ,则点A的坐标为( 1,log8 ).



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